Question

高一数学：定义在R上的奇函数f(x),当x∈(负无穷,0)时,f（x）=-x^2+mx-1

定义在R上的奇函数f(x),当x∈(负无穷,0)时,f（x）=-x^2+mx-1
（1）求f（x）的解析式
（2）若方程f（x）=0有五个不相等的实数解，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（1）当X属于0到正无穷时，求F（X）的解析式
当x＜0时，f(x)=-x^2+mx-1
那么，当x＞0时，-x＜0
所以，f(-x)=-(-x)^2+m*(-x)-1=-x^2-mx-1
已知f(x)为奇函数，所以：f(-x)=-f(x)
所以，-f(x)=-x^2-mx-1
即，f(x)=x^2+mx+1

（2）若方程F（X）=0有五个不相等的实数解，求实数M的取值范围。
由前面知：
……{-x^2+mx-1（x＜0）
f(x)={
……{x^2+mx+1（x＞0）
且f(x)为奇函数，那么f(x)=-f(-x)
即，f(x)+f(-x)=0
则，f(0)=0
已知f(x)=0有5个不相等的实数根，除去已知的f(0)=0之外，还有4个
根据奇函数的对称性知，在x＞0（或者x＜0）时，有2个不相等的实数根
即，当x＞0时，f(x)=x^2+mx+1有两个相异的实数根
所以：
i）△=b^2-4ac=m^2-4＞0 ===> m＞2，或者m＜-2
ii）对称轴x=-m/2＞0 ===> m＜0
所以，m＜-2

当x＜0时，f(x)=-x^2+mx-1有两个相异的实数根
所以：
i）△=b^2-4ac=m^2-4＞0 ===> m＞2，或者m＜-2
ii）对称轴x=m/2＜0 ===> m＜0
所以，m＜-2

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追问

你第一问和第二问fx是奇函数的结论不一样……

Answer 2

⑴解：任取x∈(0,＋∞), 则－x∈(－∞,0)
f（-x）=-（-x）∧2+m(-x)-1
整理得：f（-x）=-x∧2-mx-1
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以
f（x）=-f（-x）=-【-x∧2-mx-1】= x∧2+mx+1
综上所述f（x）是分段函数，它的解析式是：
-x^2+mx-1 , x∈(－∞,0)
f（x）={
x∧2+mx+1， x∈(0,＋∞)
⑵解：①由f（x）是奇函数知0是方程f（x）=0的一个实数解

②当x＞0时，f（x）=0有两个实数解，可令f（0）＞0 且 - m÷(2×1)>0 , △= m^2 - 4×1×1 > 0 联立上述三个不等式可解得m<-2

③当x＜0时，f（x）=0有两个实数解，可令f（0）＜0且 - { m÷[ 2×(-1) ] }＜0 ，△= m^2 - 4×(-1) ×(-1) > 0 联立上述三个不等式可解得m<-2

综上所述m<-2
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