Question

梯形ABCD中，AD平行BC,AD小于BC,角B+角C等于90度，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：EF=1\2(BC-AD)

Answer 1

作AB，CD平行线EM,EN,所以角EMN+角ENM=角B+角C，即角MEN=90°
所得平行四边形ABME和ENCD，所以BM=AE，NC=ED
又因为E为AD的中点，F为BC的中点所以BM=NC，BF=FC
所以MF=NF即F为RT三角形MEN中点
所以EF=1\2MN=1\2(BC-AD)

Answer 2

解：过点M分别作ME∥AB，MF∥DC分别交BC于点E、F ∵AD平行BC即AM平行BE，ME∥AB(已知） ∴四边形ABEM是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 有∵根据同理，可证四边形MFCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∴可得AM=BE，MD=CF（平行四边形对边相等） 又根据AB平行ME，CD平行MF（已知） 且∠B+∠C=90°（已知） 所以∠MEN=∠B,∠MFN=∠C（两直线平行，同位角相等） ∴∠MEN+∠MFN=∠B+∠C=90°（等量代换） ∴在△EFM中，∠EMF=90°（三角形内角和为180°） 即三角形EFM为直角三角形 又∵点M为AD的中点（已知） ∴AM=MD（中点定义） 又∵AM=BE，MD=CF（已证） ∴AM=BE=MD=CF（等量代换） 又∵点N为BC的中点（已知） ∴BN=CN（中点定义） ∴BN-BE=CN-CF（等式性质） 即EN=FN，点N为EF的中点（中点定义） 又因为∠EMF=90°（已证） ∴MN=�0�5EF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 又∵EF=BC-(BE+CF) 且AM=BE=MD=CF （已证） 所以EF=BC-（AM+MD)(等量代换） 即EF=BC-AD 且MN=�0�5EF（已证） ∴MN=�0�5（BC-AD）(等量代换）

Answer 3

梯形ABCD中，AD平行BC,AD小于BC,角B+角C等于90度，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：EF=1\2(BC-AD)