Question

sinx-sina/x-a的极限是多少？

Answer 1

和差化积得

sinx-sina=2cos(x+a)/2*sin(x-a)/2

所以有:lim（sinx-sina）/（x-a）

=2lim[cos(x+a)/2*sin(x-a)/2]/（x-a）

=2lim[sin(x-a)/2/（x-a）]*[cos(x+a)/2]

=lim[sin(x-a)/2]/[（x-a）/2]*lim[cos(x+a)/2]

=1*lim[cos(x+a)/2]

=cosa

概念

因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。