Question

有关高数二重积分的问题

如果积分区域D关于y=x对称，且f（x，y）=f（y，x），y=x将D分成两部分，D1和D2
请问，能否推出 ∫∫Df（x，y）dxdy=2∫∫D1f（x，y）dxdy

Answer 1

能。因为f（x，y）在D1上的积分等于f（y，x）在D1上的积分，根据积分的几何意义f（y，x）在D1上的取值等于f（x，y）在D2上的取值。所以f（x，y）在D1上的积分其实等于f（x，y）在D2上的积分，所以你写的式子是成立的。还可以更加深入的探讨。对任意直线如果，积分区域和函数本身都关于这条直线对称，那么会有函数在整块积分区域上的积分等于函数在其积分区域的某一块对称区域积分的两倍。相当于你进行了坐标变换把该任意直线变换为y轴

Answer 2

能啊~~~

因为f（x，y）=f（y，x），

所以∫∫D2f（x，y）dxdy=∫∫D2f（y，x）dxdy
此时，x，y只是个代号而已，互换不影响实质，互换后，D2就变成D1了，
得∫∫D2f（y，x）dxdy=∫∫D1f（x，y）dydx=∫∫D1f（x，y）dxdy
所以 ∫∫Df（x，y）dxdy=2∫∫D1f（x，y）dxdy成立