Question

椭圆X^2/25+Y^2/9=1上不同三点A(x1,y1),B(4,9/4),C(x2,y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列，求x1+x2的值

Answer 1

|CF|^2 = (x2-4)^2+(y2)^2
|BF|= 9/4
|AF|^2=(x1-4)^2+(y1)^2
Since A, C is on ellipse x^2/25+y^2/9=1
=>
x1^2/25+y1^2/9=1 (1)
x2^2/25+y2^2/9=1 (2)

A(x1,y1),B(4,9/4),C(x2,y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列
=>
|CF|+|AF|=2|BF|
√[(x2-4)^2+(y2)^2]+√[(x1-4)^2+(y1)^2] = 9/2
√[(x2-4)^2+9(1-x2^2/25)]+√[(x1-4)^2+9(1-x2^2/25)] = 9/2 (from (1),(2))
(1/5){√ [16(x2)^2-200x2+625]+√ [16(x1)^2-200x1+625] } = 9/2
(1/5){ 4x2-25 +4x1-25 } =9/2
4(x1+x2) -50 = 45/2
x1+x2 = 145/8

追问

谢谢，但是答案为55/8。。

Answer 2

由已知三距离成等差数列|AF|-|BF|=|BF|-|CF| ，得：2*|BF|=|AF| |CF| → 2*9/5=[ (x1-4)^2 y1^2 ]^(1/2) [ (x2-4)^2 y2^2 ]^(1/2)因为(x1,y1),(x2,y2)在圆上，x1^2/25 y1^2/9=1, x2^2/25 y2^2/9=1，带入上面方程得：2*9/5 = [ (25-4*x1)^2/25 ]^(1/2) [ (25-4*x2)^2/25 ]^(1/2)2*9/5 = [ 50 - 4(x1 x2) ]/5∴ x1 x2=8

Answer 3

首先 B(4,9/4)是不在椭圆上的，小伙子你题目打错了吧
如果B是（4，9/5）的话 就在上面了

根据椭圆的第二定义就很好解咯~
把到焦点距离转化为到准线 x=25/4 的距离
假设A,B,C到准线的距离为a,b,c
那么b=（25/4）-4=9/4=（a+c）/2
再设x1+x2=d
画张图之后易得 d+a+c=2*（25/4）
所以 d=25/2-（a+c）
d=25/2-9/2=8

要么题目错了 要么答案错了 反正这种方法绝对错不了