Question

至少取几个自然数,才能保证有4个数,它们当中任意两个数的差都是3的倍数

至少取几个自然数,才能保证有4个数,它们当中任意两个数的差都是3的倍数

Answer 1

在与整除有关的问题中有这样的性质，
如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.
根据这个性质，本题只需保证有4个数除以3的余数相同,根据抽屉原理:把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体,自然数除以3的余数只有0,1,2三种情形,可以把这3种情形看作3个抽屉,要保证至少有4个数在一个抽屉里,此时m=3,n=3那么取的自然数个数应多于9,即至少取10个自然数，才能保证有4个数，它们当中任意两个数的差都是3的倍数。

如果不懂抽屉原理的话,可以参考http://baike.baidu.com/view/8899.htm

Answer 2

0+a, 3+a, 6+a, 9+a它们当中任意两个数的差都是3的倍数
则 至少取10个【连续】自然数,才能保证有4个数,它们当中任意两个数的差都是3的倍数

Answer 3

一个自然数除以3的余数只能是0，1，2。
如果有2个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差就是3的倍数。

一个自然数除以4的余数可能是0，1，2，所以，把这3种情况看做3个抽屉，把任意4个不相同的自然数看做4个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是3的倍数。所以，任意4个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。

Answer 4

按除三所得余数给自然数分类，共有三类。
再用抽屉原理，可知至少取3+3+4=10个数，才能保证有4个数,它们当中任意两个数的差都是3的倍数

追问

3+3+4可否详细点

追答

考虑最不济的情况，取了九个数，每类三个，共九个，此时不满足条件，再取一个就必然有一类数取了四个