Question

一道初中数学竞赛题，求解析！

若1/x+1/y+1/z=1/x+y+z=1,则x,y,z中，正数的个数为（ ）。

A.1个 B.2个 C.3个 D.都有可能

Answer 1

若1/x+1/y+1/z=1/x+y+z=1,则x,y,z中，正数的个数为（ 2个 ）。

可以分析一下：不妨设X>=Y>=Z，因为1/X+1/Y+1/Z=1/(X+Y+Z)=1，所以不可能都是正数。因为若假设都是正数，则X<X+Y+Z,则1/X>1/X+Y+Z,而1/X<1/X+1/Y+1/Z,则1/X+1/Y+1/Z>1/(X+Y+Z)，矛盾。所以，可以先确定Z<0.又因为有X+Y+Z=1，所依X>0，所以X+Y=1-Z>0.还有XY+YZ+XZ=XYZ,即有XY(1-Z)=-Z(X+Y)>0,所以XY>0，再根据X+Y>0，有X>0.Y>0且Z<0 但愿我的回答对你有所帮助，
如果本题有什么不明白可以追问，
如果满意记得采纳!谢谢！！【数学辅导团】

追问

我有点笨，问一下， “可以先确定Z0，”这个是咋回事儿？

Answer 2

先假设你是想写成1/(x+y+z)=1，则(x+y+z)=1；哈哈，弄个特殊解法：
令x=1，则原已知变为1+1/y+1/z=1/(y+z)=1，即：
1/y+1/z=0 或 y+z=0。于是解得x=1，y=-z。含义有2个：
①题设1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z)=1(x，y，z ∈R)是“x=1，y=-z(y，z≠0)”的充分条件；
②方程1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z)=1的解至少有1个为1，另外2个解互为相反数，且解不为0。
另外，要熟悉掌握一个有用的特例：1/2+1/3+1/6=1，这是1/x+1/y+1/z=1(x，y，z＞0)的唯一实数解。
哦，关于“令x=1”是可以证明的哦，不是随便乱令哈。

追问

能告诉我遇到这种题要咋样去想？

追答

这类题算是有点偏咯，有点像脑筋急转弯那样的——但是，一般说来，它们其实并不难，却又有可能观察多时而无从下手。
1、解这样的题多看多了解是必要的，可用的方法是多到网络上查看（但别一上网就不由自主地想玩哈）：看这一类的题，看看脑筋急转弯，猜猜谜语（比如“疯狂猜图”、“疯狂猜成语”）......这样就会思想开阔，从多个角度思考问题，包括从偏僻、偶然的角度去解决一些困难——其实这叫机灵或者机敏。
2、这样适当坚持一下，就会形成敏锐的习惯，机敏的作风，从而勇于挑战难题和解决难题，获得解决难题的快慰感，形成乐观开朗干脆快捷的良性成长、发展的格局（从另一个角度来说就是良性循环）。
哦~说完咯，这下就里你去理解和实践咯~哈哈祝你愉快~~

Answer 3

http://zhidao.baidu.com/question/102658687.html

x/y+y/z+z/x=-1
C错！三个正数相加不可能等于负数；
B错，因为不存在这种情况，原因是比例，如两正其实就是三个正数；
A真！不可能三个都是负数，如果三个都是负数，则它们的比例总是正的；矛盾
答案【A】

Answer 4

x+y+z=1
不妨设x＜y＜z
z＞0,若y＜0，则z＞1，1/z＜1，1/y＜0，1/x＜0，不成立
则z＞0，y＞0若x＞0，则x＜y＜z＜1，1/x＞1/y＞1/z＞1，亦不成立
故x＜0，
0＜y＜z

Answer 5

你是说整数还是正数？ 你可以把这个看做等式、把两边的1/x都约掉。看一看出这是一个二元分式方程。可以得到z+y=1 把y=1-z带入分式方程得到这样的z是不存在的。所以有两个答案。 而X是不用管的、

Answer 6

3个都是整数 因为在分数中 分母只能是整数 所以这3个数都是整数

追问

可答案是B哦！