Question

设向量a、b是不共线的两个非零向量(1)若向量OA=2a-b， 向量OB=3a+b，向量OC=a-3b求证A,B,C三点共线

设向量a、b是不共线的两个非零向量
(1)若向量OA=2a-b， 向量OB=3a+b，向量OC=a-3b求证A,B,C三点共线
(2)若8a+kb与ka+2b共线 求实数k的值
(3)设向量OM=ma,向量ON=nb,向量OP=ta+rb 其中m,n,t,r均为实数m，n均不等于零若M，P，N三点共线 求证t\m+r\n=1

Answer 1

1
AB=OB-OA=3a+b-(2a-b)=a+2b
BC=OC-OB=a-3b-(3a+b)=-2a-4b=-2(a+2b)=-2AB
即：AB、BC共线，故：A、B、C三点共线
2
8a+kb与ka+2b共线，即：8a+kb=t(ka+2b)
即：(8-kt)a+(k-2t)b=0
a、b为不共线非零向量，故：
kt=8，k=2t，即：k^2=16，即：k=±4
3
MP=OP-OM=ta+rb-ma=(t-m)a+rb
NP=OP-ON=ta+rb-nb=ta+(r-n)b
M、P、N共线，即：MP、NP共线
即：MP=kNP，即：(t-m)a+rb=k(ta+(r-n)b)
即：(t-m-kt)a+(r-k(r-n))b=0
a、b为不共线非零向量，故：
k=(t-m)/t，r=(r-n)*(t-m)/t，即：
mn=tn+rm，即：t/m+r/n=1