Question

若a+b+c=3,求a²+b²+c²的取值范围

要过程，谢谢

Answer 1

楼上两位的答案都对，我来详细说说这类题的解题思路吧：
1）首先把已知条件和求值齐次；
2）利用已知条件得出求值的范围。
1）首先齐次：
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2ab-2bc-2ac
2）已知条件是a+b+c=3，应将齐次等式转换为只包含“a+b+c”和“a²+b²+c²”的不等式：
因为：
a²+b²≥2ab b²+c²≥2bc a²+c²≥2ac
所以
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2ab-2bc-2ac≥(a+b+c)²-(a²+b²)-(b²+c²)-(a²+c²)
即3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²
所以a²+b²+c²≥3

Answer 2

建立空间直角坐标系
三坐标轴分别是a,b,c
则a+b+c=3是一个过A（3,0,0） B(0,3,0) C (0,0,3) 的平面；
设a²+b²+c²=k² （k≥0）
则a²+b²+c²=k²是一个以k为半径，原点为球心的球壳；
球壳与平面有公共点时的k²值就是a²+b²+c²的取值；
由几何关系我们可以知道a²+b²+c²是没有最大值的k可以取到任意大；
而原点到平面a+b+c=3的距离就是k的最小值;
AOBC的体积是V=1/6 * 3 * 3 *3=9/2
三角形ABC的面积是S=1/2 * 3√2 * 3/2√6= 9/2 √3
ABC面对应的高h=3V/S=√3
此时a=b=c=1 ，k=√3 ,a²+b²+c²=3
所以 a²+b²+c²的取值范围是[3,+∝）

LZ也可以参考楼下的解法；我的是解析法，解析法的优点是不用费脑筋去想模型，只要肯算，一定能成功，缺点是有一定计算量；构造法的优点是比较简洁，不过如果模型选错，就会迷惑无所得；
考试大题的话，我推荐解析法，理由是没有风险

Answer 3

解：由(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0，得 a²+b²+c²≥ab+bc+ca
而(a+b+c)²=9=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)≤3(a²+b²+c²)
故 a²+b²+c²≥3