Question

求极限lim(x趋于无穷）cos√(x+1)-cos√x

求极限lim(x趋于无穷）cos√(x+1)-cos√x
只用 公式！！ 不要用导数

Answer 1

用和差化积公式
原式=lim(x→+∞)-2sin(√(x+1)/2+√x/2)sin(√(x+1)/2-√x/2)
=lim(x→+∞)-2sin((√(x+1)+√x)/2)sin(1/(2(√(x+1)+√x))) （分子有理化）
=lim(x→+∞)-2sin((√(x+1)+√x)/2)/(2√(x+1)+√x) (因为1/(2(√(x+1)+√x))→0且sinx~x)
=lim(x→+∞)-sin((√(x+1)+√x)/2)/(√(x+1)+√x)
因为这个式子的绝对值<=lim(x→+∞)|1/(√(x+1)+√x)|→0
所以原式=0

Answer 2

cos√(x+1)-cos√x
=-2sin(√(x+1)+√x)/2sin(√(x+1)-√x)/2，
sin(√(x+1)+√x)/2∈[-1,1]，
lim√(x+1)-√x丨x=∞=0，
——》limsin(√(x+1)-√x)/2丨x=∞=0，
——》limcos√(x+1)-cos√x丨x=∞=0。