Question

已知函数f<X>=-2x^2+bx+c在x=1时有最大值1，又0<m<n,并且x∈【m,n]时，f<x>的取值范围是

已知函数f<X>=-2x^2+bx+c在x=1时有最大值1，又0<m<n,并且x∈[m,n]时，f<x>的取值范围是[1/n,1/m]试求m,n的值
求出f<X>=-2x^2+4x-1，然后怎么做？

Answer 1

f<X>=-2x^2+bx+c在x=1时有最大值1
∴f(x)=-2(x-1)²+1
f(x)的对称轴为x=1,图像开口朝下
0<m<n,并且x∈[m,n]时，
f<x>的取值范围是[1/n,1/m]

当m<n≤1时，f(x)在[m,n]上递增
∴f(x)min=f(m)=-2m²+4m-1=1/n ≥1
f(x)max=f(n)=-2n²+4n-1=1/m >1
矛盾

当0<m≤1<b时，
1∈[m,n] , x=1时，f(x)max=1=1/m,
∴m=1,
f(x)min=f(n)=-2n²+4n-1=1/n
∴2n³-4n²+n+1=0
==> (n-1)(2n²-2n-1)=0
==>n-1=0或2n²-2n-1=0
==>n=1（舍）或n=1-√2（舍）或n=1+√2
∴m=1,n=1+√2

当1<m<n时，f(x)在[m,n]上递减
f(x)min=f(n)=-2n²+4n-1=1/n
f(x)max=f(m)=-2m²+4m-1=1/m
两个方程是同一个方程
0<m<n ,则m=1,n=1+√2
与m>1矛盾

∴m=1.n=1+√2
来自：求助得到的回答

追问

n=/2?

追答

口算错了
2n²-2n-1=0

==>n=(1+√3)/2（舍负）

追问

当m<n≤1时，f(x)在[m,n]上递增
矛盾
什么意思？

追答

f(n)=1/m>1了

f(x)在R上的最大值是1呀

追问

2n³-4n²+n+1=0
==> (n-1)(2n²-2n-1)=0
怎么分解？

追答

实际上，这种三次方程是超纲的内容。
高考不应该考的。
高考考导数，对于多项式函数最多考到三次函数，求导后变成二次的。
这道题，原题是f(x)在[m,n]上的值域是[m,n]
你们老师出题将它改成了[1/n,1/m],难了。

2n³-4n²+n+1=0

可以先试出一个根来，n=1（一般试试±1，这个根是常数项的约数）
那么可以分解出一个因式n-1
原式=(n-1)(2n²+xn-1)
看二次项xn²-2n²=-4n²,x=-2

追问

那这样拆开来，对应系数相等，那第三个n=1,第三项不合了

追答

没问题的

Answer 2

f＝-2（x－b/4）²＋c＋b²／8.
b/4=1.b=4.
c+b²／8＝1,c+2＝1,c=-1.
f＝-2x²+4x-1.
-2x²+4x-1＝1／（-2x²+4x-1）.
-2x²+4x-1＝±1.x＝1,2.
m=1.n=2

追问

2没有

Answer 3

可以列出方程组讨论，看哪种符合条件，都符合m，n就有两解