Question

已知:a,b属于正实数.求证:a/根号下b+b/根号下a>=根号下a+根号下b

Answer 1

a/根号下b=a·b^(1/2)
b/根号下a=b·a^(1/2)
根号下a=a^(1/2)
根号下b=b^(1/2)

因为a,b为正实数
若a,b都大于1
1式的每一项都乘了一个正数，而他本身也是正数，肯定大于2式
若a,b在0,1之间
则f(x)=a·b^(1/2)f(x)=b·a^(1/2)f(x)=a^(1/2)f(x)=b^(1/2)

都是减函数,根据图象可知底数小的函数值大,所以1式大于2式

当a,b等于0,相等

Answer 2

a(3/2)+b(3/2)/a^(1/2)b^(1/2)>=根号a+根号b
对 a(3/2)+b(3/2)因式分解 (根号a+根号b)[a+b-根号ab]>=(根号a+根号b)(根号ab）
因为根号a+根号b>0 所以等效于证明
a+b-根号ab>=根号ab (根号a-根号b)^2>=0 恒成立 等号 在a=b时候成立