Question

利用幂级数的和函数的性质求下列幂级数在各自收敛域上的和函数

从这里搬过来的http://zhidao.baidu.com/question/555980825.html
求大神给我个细致点的步骤，一点要细致，不然小白我看不懂啊，最好每进行一步就写一下原因，在此先谢过各位了

Answer 1

第一步求原函数nx^n-1的原函数为x^n

第二步求导与求和互换

第三步等比数列求和

第四步和函数求导

追问

第二步求导与求和互换：是怎么来的，这个等式是怎么成立的？
第三步等比数列求和：公比是x吗？求和公式S∞=a1/(1-q) （n-> ∞）（|q|<1），是不是要加个条件说、
|x|<1呢？

Answer 2

幂级数的和函数在收敛域内满足可积性和可微性，观察可知，求和符号内的函数为x^n的导数，那么幂级数就可以写成x^n的导数，x^n为等比级数，在收敛域内和函数收敛于x/(1-x),再对其求导即可得到原级数的和函数

追问

在收敛域内和函数收敛于x/(1-x)是怎么得来的？

追答

原级数的收敛域是|x|<1，然后根据等比数列求和公式可以知道和函数收敛于x/(1-x)，等比级数是非常重要的幂函数，有关幂函数的很多题目都要靠他来解决。

这个题目讨论的是在收敛域内的情况，默认|x|<1

Answer 3

解：级数∑(n=1,+∞)x^n=x/(1-x) |x|<1 (首项为1，公比为x的等比级数求和)
上式两边求导得：∑(n=1,+∞)nx^(n-1)=1/(1-x)² |x|<1

追问

公比为x的等比级数求和的公式是什么呢，∑(n=1,+∞)x^n为什么等于x/(1-x)呢，这里∑(n=1,+∞)x^n=x/(1-x)中的x^n是指什么，题目中是nx^n-1的

追答

等比数列呀

∑(n=1,+∞)x^n=x+x^2+....+x^n+.....=x(1+x+x^2+....+x^(n-1)+.....)=x/(1-x)