Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试确定AD与EF的关系，并说明理由．

1：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试确定AD与EF的关系（位置和数量），并说明理由．

2.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．（1）求证：DE=EC；（2）若AD=0.5BC，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

求解啊





Answer 1

1、证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵DE∥AC
∴∠ADE＝∠CAD
∴∠ADE＝∠BAD
∴AE＝DE
∵DF∥AB
∴平行四边形AEDF （两组对边平行）
∴AF＝DE，DF＝AE
∴AE＝DE＝AF＝DF
∴菱形AEDF
∴AD⊥EF

2、（1）∵∠BDC＝90
∴∠BDE+∠CDE＝90, ∠DBC+∠BCD＝90
∵∠BDE＝∠DBC
∴∠CDE＝∠BCD
∴DE＝EC
（2）根据(1)得
BE=ED=EC
AD=1/2BC
AD=BE
AD∥BE
ABED为平行四边形
DE=BE
所以ABED为菱形

追问

没有数量关系吗？我认为DF=0.5AE，但是不知道怎么求证，还有第二题是ABCD是什么形状

追答

DF＝AE

怎么会等于DF=0.5AE呢？？
2、（1）∵∠BDC＝90
∴∠BDE+∠CDE＝90, ∠DBC+∠BCD＝90
∵∠BDE＝∠DBC
∴∠CDE＝∠BCD
∴DE＝EC
（2）根据(1)得
BE=ED=EC
AD=1/2BC
AD=BE
AD∥BE
ABED为平行四边形
DE=BE
所以ABED为菱形
E是直角三角形BDC中BC的中点

那么：DE=0.5BC
那么：AB=DE=DC
在四边形ABCD中：AD∥BC
AB=DC且不平行
那么四边形ABCD是等腰梯形

追问

为什么AB=DE=DC？这一步不理解，直角三角形斜边的中线不是等于斜边的一般么？那么和直角边有什么关系？

追答

如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证法1：

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D

∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）

又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理

证法2：

ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE

∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线

∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）

∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE⊥AB

∴n是AB的垂直平分线

∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

∴AD=CB/2

Answer 2

1.AD与EF的关系：AD、EF互相垂直平分线。
理由：DE平行于AC，DF平行于AB，则四边形EAFD为平行四边形，所以有EA等于DF，角EAD等于角ADF。又知AD为角平分线，有角EAD等于角DAC，所以角ADF等于角DAF。所以AF等于FD。所以平行四边形EAFD为菱形。所以对角线互相垂直平分。
2.