Question

问大家一道数学题

如图，圆N的圆心N在以AF为直径的圆M上，圆M的弦AE所在的直线与圆N相切于D点，圆M与圆N其中的一个交点为C，AC交圆N于B点，连接NE,AN,设圆N，圆M的半径分别为2和3,。求（1）AN*NE=12 （2）若AD=根号21，求BC的长

Answer 1

解：(1) 连接DN 、MN 、ME由于AD是圆N的切线 则有DN⊥AD
在△MNE中 根据余弦定理 cos∠EMN=(ME²+MN²-NE²)/2*ME*MN=(18-NE²)/18
又在RT△AND中sin∠NAD=DN/AN=2/AN
∵在圆M中易知 ∠EMN=2*∠NAE
∴cos∠EMN=cos2*∠NAE=1-2sin²∠NAE
则(18-NE²)/18=1-2*(2/AN)²
1-NE²/18=1-8/AN²
(AN*NE)=18*8=144
解得AN*NE=12
(2) 连接BN、NC、MC 在RT△AND中 DN=2 AD=√21 可求得AN=5
cos∠CMN=(MN²+MC²-NC²)/2*MN*MC=14/18
∵∠CMN=2*∠CAN
∴sin∠CAN=√(1- cos∠CMN)/2=1/3
在△ABN中根据正弦定理 BN/sin∠CAN=AN/sin∠ABN
故sin∠ABN=sin(π-∠ABN)=sin∠NBC=5/6
cos∠NBC=(NB²+BC²-NC²)=√(1-sin²∠NBC)=√11/6
由上式可解得BC=2√11/3

Answer 2

Answer 3

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