向量长度与向量坐标区别 如题
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[编辑本段]向量
在初中课改教材初三课本中学习
[编辑本段]数量的定义
中,把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量）,物理中常称为标量.
[编辑本段]向量的定义
既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢(shi 4声)量）.
注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组,称为n维向量.α=（a1,a2,…,an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量.
（"a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推）.
[编辑本段]向量的表示
1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示.
2、几何表示：向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.（若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫做有向线段.）
3、坐标表示：在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a.由平面向量基本定理知,有且只有一对实数（x,y）,使得 a=向量OP=xi+yj,因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标,记作a=（x,y）.这就是向量a的坐标表示.其中（x,y）就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量.
[编辑本段]向量的模和向量的数量
向量的大小,也就是向量的长度(或称模).向量a的模记作|a|.
注：
1、向量的模是非负实数,是可以比较大小的.
2、因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小.对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的.例如,“向量AB>向量CD”是没有意义的.
[编辑本段]特殊的向量
单位向量
长度为单位1的向量,叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|.
零向量
长度为0的向量叫做零向量,记作0．零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的.
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等,记作a=b．
规定：所有的零向量都相等．
当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量.
自由向量
始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的向量.
在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量.
数学中只研究自由向量.
滑动向量
沿着直线作用的向量称为滑动向量.
固定向量
作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）.
位置向量
对于坐标平面内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作：向量P.
[编辑本段]相反向量
与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a.有 -（-a）=a；
零向量的相反向量仍是零向量.
平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线）,记作a∥b．
零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,我们规定：零向量与任一向量平行．
平行于同一直线的一组向量是共线向量.
共面向量
平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量.
空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面.
只有三个或三个以上向量才谈共面不共面.
[编辑本段]向量的运算
设a=（x,y）,b=(x',y').
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.
当λ＞0时,λa与a同方向；
当λ＜0时,λa与a反方向；
当λ=0时,λa=0,方向任意.
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
3、向量的的数量积
定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.
向量的数量积的运算率
a·b=b·a（交换率）；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a∥b〈=〉a×b=0.
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.
定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.
若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GA +GC=0 ,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.
a//b的重要条件是 a×b=0.
零向量0平行于任何向量.
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a·b=0.
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.
零向量0垂直于任何向量.
[编辑本段]向量的来源
向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．
课本上讨论的向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如,把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间,这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象．这样,就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此,向量空间的概念,已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．
从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学．
但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期,英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分）,以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后,电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析．
三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具.
在初中课改教材初三课本中学习
[编辑本段]数量的定义
中,把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量）,物理中常称为标量.
[编辑本段]向量的定义
既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢(shi 4声)量）.
注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组,称为n维向量.α=（a1,a2,…,an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量.
（"a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推）.
[编辑本段]向量的表示
1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示.
2、几何表示：向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.（若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫做有向线段.）
3、坐标表示：在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a.由平面向量基本定理知,有且只有一对实数（x,y）,使得 a=向量OP=xi+yj,因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标,记作a=（x,y）.这就是向量a的坐标表示.其中（x,y）就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量.
[编辑本段]向量的模和向量的数量
向量的大小,也就是向量的长度(或称模).向量a的模记作|a|.
注：
1、向量的模是非负实数,是可以比较大小的.
2、因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小.对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的.例如,“向量AB>向量CD”是没有意义的.
[编辑本段]特殊的向量
单位向量
长度为单位1的向量,叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|.
零向量
长度为0的向量叫做零向量,记作0．零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的.
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等,记作a=b．
规定：所有的零向量都相等．
当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量.
自由向量
始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的向量.
在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量.
数学中只研究自由向量.
滑动向量
沿着直线作用的向量称为滑动向量.
固定向量
作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）.
位置向量
对于坐标平面内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作：向量P.
[编辑本段]相反向量
与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a.有 -（-a）=a；
零向量的相反向量仍是零向量.
平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线）,记作a∥b．
零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,我们规定：零向量与任一向量平行．
平行于同一直线的一组向量是共线向量.
共面向量
平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量.
空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面.
只有三个或三个以上向量才谈共面不共面.
[编辑本段]向量的运算
设a=（x,y）,b=(x',y').
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.
当λ＞0时,λa与a同方向；
当λ＜0时,λa与a反方向；
当λ=0时,λa=0,方向任意.
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
3、向量的的数量积
定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.
向量的数量积的运算率
a·b=b·a（交换率）；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a∥b〈=〉a×b=0.
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.
定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.
若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GA +GC=0 ,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.
a//b的重要条件是 a×b=0.
零向量0平行于任何向量.
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a·b=0.
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.
零向量0垂直于任何向量.
[编辑本段]向量的来源
向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．
课本上讨论的向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如,把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间,这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象．这样,就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此,向量空间的概念,已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．
从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学．
但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期,英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分）,以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后,电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析．
三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具.
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