Question

﹙1﹚如果对x∈[1,3],不等式x²+2(a-2)x+4>0恒成立,求实数a的取值范围

﹙2﹚如果不等式x²－2(a-2)x+4>0在x∈[1,3]上有解,求实数a的取值范围
﹙3﹚如果对x∈R，不等式x^4＋ax²＋1≥0恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

(1).f(x)=x²+2(a-2)x+4 是一个开口向上的抛物线，若在x∈[1,3]上f(x)>0恒成立，则需
(i) 对称轴2-a<1时，即a>1时，f(1)>0且f(3)>0，代入解得，a∈(-1/2, -1/6)，由于需a>1，无解;
(ii)对称轴2-a>3时，即a<-1时，f(1)>0且f(3)>0，代入解得，a∈(-1/2, -1/6)，由于需a<-1，无解；
(iii)对称轴2-a∈[1,3],即a∈[-1,1]时,函数最小值4-(a-2)²>0,解得a<0或a>4，由于需a∈[-1,1]，因此a∈[-1,0].
综上，如果对x∈[1,3],不等式x²+2(a-2)x+4>0恒成立，a∈[-1,0].

(2).不等式x²－2(a-2)x+4>0在x∈[1,3]上有解,仅需 f(1)>0或f(3)>0即可，代入解得a>-1/2或a<-1/6，即a为任何实数，均可满足x²－2(a-2)x+4>0在x∈[1,3]上有解；

(3)令t=x²，t≥0，则x^4＋ax²＋1≥0转化为f(t)=t²+at+1≥0在t≥0时恒成立
f(t)=t²+at+1为开口向上的抛物线，对称轴为t=-a/2
(i)对称轴-a/2<0,即a>0时，f(0)≥0,代入有0+0+1≥0，恒成立，即在a>0时，f(t)=t²+at+1≥0恒成立；
(ii)对称轴-a/2≥0,即a≤0时，f(t)最小值1-a²/4≥0，解得a∈[-2,2], 因a≤0，所以a∈[-2，0]。
综上，a≥-2时，x^4＋ax²＋1≥0恒成立。

另外，第（3）题第二解法如下：
（i）x≠0时，x²>0，不等式两边同时除以x²可得x²＋a＋(1/x)²≥0
配方得(x-1/x)²+2+a≥0,由于(x-1/x)²恒大于等于0，只需2+a≥0即a≥-2即可满足(x+1/x)²-2+a≥0，亦即a≥2时，x^4＋ax²＋1≥0
（ii）x=0时，原不等式化为1≥0恒成立；
综上，a≥2时，x^4＋ax²＋1≥0恒成立。