Question

已知二次函数y=ax2+2x+3图象与x轴交于点A,点B(点B在X轴的正半轴上),与Y轴交于点C,其顶点为D,直线DC的函数

的函数关系式为y=kx+3，又tan∠OBC=1。（1）求a、k的值。（2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与B、C不重合），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)∵y=ax²+2x+3
∴C﹙0,3﹚
又∵tan∠OBC=1
∴OB=OC=3
∴B﹙3,0﹚
又∵点B在y=ax²+2x+3上
∴a=-1
∴y=-x²+2x+3
=-(x-1)²+4
∴A(-1,0),D(1,4)
又∵点D在y=kx+3上
∴k=1

(2)存在。∵OB=3，OC=3，由勾股定理得：
BC=3√2
当点P在二次函数顶点上时，点P与点D重合
∵CD=√2，BD=2√5
∴此时△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形