Question

设函数f (x)＝x2－x＋b,

设函数f (x)＝x2－x＋b, 已知log 2f (a)＝2, 且f (log 2a)＝b (a>0且a≠1), (1) 求a, b的值；(2) 试在f (log 2x)>f (1)且log 2f (x)<f (1)的条件下，求x的取值范围。

Answer 1

解：（1）由已知log2(a2-a+b)=2,(log2a)2-log2a+b=b得
a2-a+b=4,(log2a)(log2a-1)=0
因为a>0且a≠1，解得a=2,b=2
（2）由（1）知，f(x)=x2-x+2,f(1)=2
所以，(log2x)2-log2x+2>2且log2(x2-x+2)<2
即log2x>1或log2x<0，x2-x+2<4
解得-1<x<1
所以x的取值范围是(-1,1)

Answer 2

解：
(1) log<2>f(a)=log<2>(a^2-a+b)=2 ==> a^2-a+b=4
f[log<2>(a)]=[log<2>(a)]^2-log<2>(a)+b=log<2>(a)[log<2>(a)-1]+b=b
∴a=1 或 2, ∵a≠1, ∴a=2, b=2

(2)f[log<2>(x)]＞f(1) <===> [log<2>(x)]^2-log<2>(x)＞0
解得log<2>(x)＞1 或 log<2>(x)＜0, 即x＞2 或 0＜x＜1
log<2>f(x)＜f(1) <===> log<2>(x^2-x+2)＜2
即0＜x^2-x+2＜4, 解得-1＜x＜2
取交集得 x∈(0,1)