Question

设函数f(x)=x^2-alnx,g(x)=x^2-x,恒有函数f(x)的图像位于g(x)图像上方

设函数f(x)=x^2-alnx,g(x)=x^2-x,恒有函数f(x)的图像位于g(x)图像上方，求实数a的取值范围

Answer 1

设h(x)=f(x)-g(x)=x-alnx.(x>0).
则h`(x)=1-a/x.
令h`(x)>0,得x>a,令h`(x)<0,得x<a.
(1)当a>0时,h(x)极小=h(a)=h(x)min=a-alna.
令h(a)>0,得0<a<e.
(2)当a<0时,易知h(x)在(0,+∞)上递增.
而此时恒有x0∈(0,1)使h(x)<0,与题意不符,舍去.
(3)当a=0时,易知h(x)在(0,+∞)上递增.
此时h(x)>0.

综上,a∈[0,e).