Question

设函数f(x)=x^2-alnx,g(x)=x^2-x

设函数f(x)=x^2-alnx,g(x)=x^2-x,恒有函数f(x)的图像位于g(x)图像上方，求实数a的取值范围

Answer 1

设h(x)=f(x)-g(x)=x-alnx.(x>0).
则h`(x)=1-a/x.
令h`(x)>0,得x>a,令h`(x)<0,得x<a.
(1)当a>0时,h(x)极小=h(a)=h(x)min=a-alna.
令h(a)>0,得0<a<e.
(2)当a<0时,易知h(x)在(0,+∞)上递增.
而此时恒有x0∈(0,1)使h(x)<0,与题意不符,舍去.
(3)当a=0时,易知h(x)在(0,+∞)上递增.
此时h(x)>0.

综上,a∈[0,e).

Answer 2

由f(x)=x^2-alnx中的lnx只自变量x取值范围是 x>0

恒有函数f(x)的图像位于g(x)图像上方
即 f(x)>g(x) 在整个x取值范围内成立,
即 x^2-alnx>x^2-x 即 x-alnx>0 在x>0时总成立
1) 显然a可以等于0
2) 由lnx图像性质知a不能小于0
3) 考虑a>0的情况 设F(x)=x-alnx
求极值点 F'(x)=0 得到 1-a/x=0 即 x=a 时 F(x)有极小值F(a)=a-alna
要求a-alna>0 即 1>lna 所以a<e
综合起来 0<=a<e

Answer 3

x的定义域：x>0
由图得，函数f(x)的图像位于g(x)图像上方，所以f(x)>=g(x)恒成立，即f(x)-g(x)>=0推出x-alnx>=0，令h(x)=x-alnx,导数h'(x)=1-a/x 令h'(x)=1-a/x=0，x=a,
当a>0,0<x<a,h'(x)<0,x>a,h'(x)>0,h(x)在x=a处取得最小值，h(a)=a-alna>=0,所以0<a<=e
当a<0,h'(x)>0恒成立，所以h(x)单调递增，但是在x等于趋向于0时，h(0)<0不符合条件，
当a=0时，显然符合条件
综上a的范围如下：0=<a<=e