Question

2012杭州市中考数学23题第3问详解

Answer 1

考点：

切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：

计算题。

分析：

（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数；

（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN，由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；

（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比．

解答：

解：（1）∵AE切⊙O于点E，

∴AE⊥CE，又OB⊥AT，

∴∠AEC=∠CBO=90°，

又∠BCO=∠ACE，

∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，

∴∠COB=∠A=30°；

（2）∵AE=3，∠A=30°，

∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3，

∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2，

∴MB=MN=，

连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，

∴OB==，

在△COB中，∠BOC=30°，

∵cos∠BOC=cos30°==，

∴BO=OC，

∴OC=OB=，

又OC+EC=OM=R，

∴R=+3，

整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，

解得：R=﹣23（舍去）或R=5，

则R=5；

（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，

如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：

延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，

∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，

∴FD=5，

则C△EFD=5+10+5=15+5，

由（2）可得C△COB=3+，

∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．

点评：

此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

求 采纳

追答

采纳啊？？？？

追问

第3问我知道有2个，找不到其他4个，请再给看看，最好有图

我也想采纳，但第3问还是不清楚

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追问

谢谢