Question

高二数学函数与导数问题

已知函数f(x)=lnx+mx2 若m=0 A(a,f(a)),B(b,f(b))是函数图像上不同的两个点 且a大于b大于0 f'(x)是f(x)的导数 求证 f'((a+b)/2)小于[f(a)-f(b)]/(a-b)小于f'(b)

Answer 1

f(x)=lnx
f'(x)=1/x
f'((a+b)/2)=2/(a+b)
f'(b)=1/b
先证f'((a+b)/2)小于[f(a)-f(b)]/(a-b)
即证2/(a+b)<(lna-lnb)/(a-b)
即ln(a/b)>2(a-b)/(a+b)=2(a/b-1)/(a/b+1)
令t=a/b，因a>b>0,a/b>1
只要证g（t）=lnt-2(t-1)/(t+1),在t>1时g(t)>0
求导即可
后证[f(a)-f(b)]/(a-b)小于f'(b)
即(lna-lnb)/(a-b)<1/b
同样的证 ln(a/b)<（a-b)/b=a/b-1
令t=a/b，因a>b>0,a/b>1
只要证h(t)=lnt-(t-1),,在t>1时h(t)>0
求导即可
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Answer 2

你先求出f'(x)=1/x   

然后得出f'(x)在[a,b]的单调性 就可以求出f'((a+b)/2)小于f'(b)

 如果画图说明的话  

这个问题就是f'((a+b)/2就是f(x)=lnx在 (a+b)/2 处的斜率

                    f'(b）就是f(x)=lnx在 b 处的斜率

                     f(a)-f(b)]/(a-b)就是在f(x)=lnx  a点到b点的斜率  tana=f(a)-f(b)]/(a-b)

证明什么的，毕业很久了你找找公式吧