Question

什么叫素数?

Answer 1

素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任
何其它两个整数的乘积.例如,15＝3＊5,所以15不是素数；又如,12
＝6＊2＝4＊3,所以12也不是素数.另一方面,13除了等于13＊1以
外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数.
有的数,如果单凭印象去捉摸,是无法确定它到底是不是素数的.有些数则
可以马上说出它不是素数.一个数,不管它有多大,只要它的个位数是2、4、
5、6、8或0,就不可能是素数.此外,一个数的各位数字之和要是可以被3
整除的话,它也不可能是素数.但如果它的个位数是1、3、7或9,而且它的
各位数字之和不能被3整除,那么,它就可能是素数（但也可能不是素数）.没
有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数.你只能试试看能不能将这
个数表示为两个比它小的数的乘积.
找素数的一种方法是从2开始用“是则留下,不是则去掉”的方法把所有的
数列出来（一直列到你不想再往下列为止,比方说,一直列到10,000）.
第一个数是2,它是一个素数,所以应当把它留下来,然后继续往下数,每隔一
个数删去一个数,这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉.在留
下的最小的数当中,排在2后面的是3,这是第二个素数,因此应该把它留下,
然后从它开始往后数,每隔两个数删去一个,这样就能把所有能被3整除的数全
都去掉.下一个未去掉的数是5,然后往后每隔4个数删去一个,以除去所有能
被5整除的数.再下一个数是7,往后每隔6个数删去一个；再下一个数是11
,往后每隔10个数删一个；再下一个是13,往后每隔12个数删一个.……
就这样依法做下去.
你也许会认为,照这样删下去,随着删去的数越来越多,最后将会出现这样
的情况；某一个数后面的数会统统被删去崮此在某一个最大的素数后面,再也不
会有素数了.但是实际上,这样的情况是不会出现的.不管你取的数是多大,百
万也好,万万也好,总还会有没有被删去的、比它大的素数.
事实上,早在公元前300年,希腊数学家欧几里得就已证明过,不论你取
的数是多大,肯定还会有比它大的素数,假设你取出前6个素数,并把它们乘在
一起：2＊3＊5＊7＊11＊13＝30030,然后再加上1,得3003
1.这个数不能被2、3、5、7、11、13整除,因为除的结果,每次都会
余1.如果30031除了自己以外不能被任何数整除,它就是素数.如果能被
其它数整除,那么30031所分解成的几个数,一定都大于13.事实上,3
0031＝59＊509.
对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数,都可以这样做.如果算出了它
们的乘积后再加上1,那么,所得的数或者是一个素数,或者是比所列出的素数
还要大的几个素数的乘积.不论所取的数有多大,总有比它大的素数,因此,素
数的数目是无限的.
随着数的增大,我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对,如5
,7；11,13；17,19；29,31；41,43；等等.就数学家所
能及的数来说,它们总是能找到这样的素数对.这样的素数对到底是不是有无限
个呢?谁也不知道.数学家认为是无限的,但他们从来没能证明它.这就是数学
家为什么对素数感兴趣的原因.素数为数学家提供了一些看起来很容易、但事实
却非常难以解决的问题,他们目前还没能对付这个挑战哩.
这个问题到底有什么用处呢?它除了似乎可以增添一些趣味以外,什么用处
也没有.