Question

数学问题

y＝x^2-x+1/x^2+x+1的值域

Answer 1

y=(x²-x+1)/(x²+x+1)的值域用Δ判别式法：
x²-x+1=yx²+yx+y
(1-y)x²-(1+y)x+(1-y)=0
因为此方程有解，所以
Δ=(1+y)²-4(1-y)²≥0
y²+2y+1≥4(y²-2y+1)
3y²-10y+3≤0
(3y-1)(y-3)≤0
1/3≤y≤3
值域为：【1/3 ，3】

Answer 2

求函数y的值域，也就是说对于任意的一个X都会有一个y与之对应。那么就可以把这个函数看成一个关于x的二次方程，而其中的y作为方程一个参数。整理后的方程为（y-1）x^2 +(y+1)x + y -1 = 0;因为y和x都是有值存在的，所以这个二次方程是一定有解的。因此求y的值域就可以转换为求满足上述方程有解的y的范围。这个范围就是y的值域了。
首先 当y= 1时，x = 0;有解。
当y = 1时,根据求根公式，要判断方程是否有解，只需要判断(b^2 - 4ac) / (2a) >= 0即可。
所以有(（y+1）^2 - 4(y-1)(y-1) ) / (2(y -1)) >= 0,
整理有：-（3y-1）(y-3) / (2(y-1) ) > =0;
即:：（3y-1）(y-3) / (2(y-1) ) <= 0;
可求出y的范围是： y <= 1/3 1<= y<= 3
即y的值域是 y<= 1/3 1<= y <= 3

Answer 3

（x^2+x+1）*y=（x^2-x+1）
x^2(y-1)+x(y+1)+(y-1)=0
判别式=(y+1)^2-4*(y-1)^2≥0
1/3≤y≤3

追问

判别试怎么来的……？