Question

一道基本不等式

一直角三角形的两条直角边长分别为a ,b
（1）若此三角形的周长为定值L，求其面积S 的最大值；
（2）若此三角形的面积为定值S，求其周长L 的最小值

Answer 1

追问

2根号2+2哪来的

追答

L=a+b+√(a^2+b^2)≥2√(ab) +√(2ab)=√ab*(2+√2)
S=1/2*ab
2S=ab
√ab=√(2S)
√ab*(2+√2)=√(2S)*(2+√2)=(2√2+2)√S

Answer 2

（1） 令b与斜边c所夹直角为θ,则周长L=a+b+c可表示为c（sinθ+cosθ+1）=L，
c=L/(sinθ+cosθ+1)。∴S=0.5ab=0.5csinθ·ccosθ=0.5Lsinθ/(sinθ+cosθ+1)·Lcosθ/(sinθ+cosθ+1)。令t=sinθ+cosθ=根号2sin(θ+π/4)<=根号2,则sin2θ=t²-1，带sinθ+cosθ、sin2θ关于t的表达式入S，则S=0.25L²[1-2/(t+1)](注解：t>0)。因此当t=根号2时（t取最大值），即θ=π/4，a=b(注：直角三角形有一个角为π/4，它定是等腰直角三角形)max S=0.25（3-2根号2）L²
（2）接（1），由S=0.25L²[1-2/(t+1)](注解：t>0)推出L²=4S[1+2/(t-1)]。因此当t=根号2时（t取最大值），即θ=π/4，a=b时，min L=根号(4S[1+2/(根号2-1)]=(2根号2+2)根号s。