Question

请问这个用球坐标怎么算呢？

题目是这样的v: x^2+y^2+z^2<=a^2, x^2+y^2+z^2<=2*a*z求在这个v上的积分z^2dxdydz红色部分，用求坐标变换范围写成水平方向的角A从0积到2pi，垂直方向的角B从0积到pi/3，r从a/2cosB到a.这部分算下来跟柱坐标算下来的答案一样。但是黄色部分，我怎么算都不太对，这个是由两部分组成的，第一是水平方向的角A从0积到2pi，垂直方向的角B从0积到pi/3，r从a/2到a/2cosB;加上水平方向的角A从0积到2pi，垂直方向的角B从pi/3积到pi/2，r从0到2acosB麻烦大家看看到底什么地方出错了？还有一个补充的问题：在用柱坐标计算的时候，黄色部分sita是从0到2pi, r是从0到根号下a^2-z^2，z是从a/2到a。有一点不是很清楚，从两个球体的公式可以算出，相交部分r满足从0到根号3/2,如果我直接从0到根号3/2去积分的话算出来就是错的，只能用z的表达式来积分。这有什么规律还是要求吗？

Answer 1

球面坐标一般只有两种情形：1整个球面或半个球面，2区域由球面与锥面围成。这里需要出现一个锥面。两个球面的交线是圆：z=a/2,x^2+y^2=3a/4，以此圆为底面作一个顶点为原点，z轴为对称轴的锥面（在球面坐标系下，锥面的方程是φ=π/3）。用锥面分割区域，两个区域都是由球面与锥面围成，使用球面坐标即可

Answer 2

按柱坐标变换的话下面部分z是0到a/2，然后是∫∫dxdz的形式，而这个积分区域是D（z）是z的函数，因为z的变化会产生不同的垂直于z轴的平面（圆），而在柱面坐标的变换下r的变化范围就是0到这个垂直于z轴的平面圆的边界，这个边界对应的r值就是满足x^2+y^2=a^2-z^2=r^2文字描述可能讲得不太清楚，希望你能理解啊~

Answer 3

是的，我意识到自己的问题在哪里。这个问题书上给出的答案只有柱面，所以我就沿用柱面的方法把这个题目做了下，不过红色部分用球坐标按照我的方法，算出来跟柱坐标是一样的，有问题的是黄色部分，不过有个研友已经帮我算出来了~按照球面的话，是研友zilijc给的方法划分是最合理的。

Answer 4

没看清楚什么呢？你分割区域的方法只能使用柱面坐标。按你所写，你想想看“fai: 0~pi/3 r: （a/2cosfai）~a”对应的区域是红色部分积分吗？我记得同济高数课本上有这个习题，可以找习题解答看看

Answer 5

按柱坐标变换的话下面部分z是0到a/2，然后是∫∫dydz（这个应该是dxdy吧~）的形式，而这个积分区域是D（z）是z的函数，因为z的变化会产生不同的垂直于z轴的平面（圆），而在柱面坐标的变换下r的变化范围就是0到这个垂直于z轴的平面圆的边界，这个边界对应的r值就是满足x^2+y^2=a^2-z^2=r^2先谢谢你的回答~这个解释我觉得也讲得通，我在另外一本参考书上，这个题目他用了截面法，即用垂直于z轴的一个面去截相交部分，给出的表达式是sita从0到2pi，r从0到根号3a/2，z从a-根号下a平方减r平方，到根号下a平方-r平方这个算出来也是对的，柱面下z上下限取常数，r用z的表达式，而它这种方法又是r取常数，z取r的表达式，凌乱了。。。该怎么去总结这个规律呢？？或者什么时候该取常数，什么时候该取表达式呢？？