Question

在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数。

在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数。

Answer 1

∵AD=BD

∴∠B=∠1

∵AB=AC=CD

∴∠B=∠C，得∠B=∠1=∠C

在△ADC中

∵∠2=∠3  ；  ∠3=∠B+∠1  得∠2=∠3=2∠1

∴∠2+∠3+∠C=180°即2∠1+2∠1+∠1=180°

则∠1=36°

在△ABC中

∠BAC=∠1+∠2=36°+2×36°=108°

Answer 2

∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠ABC，∴∠ADC＝∠DAB＋∠ABC＝2∠ABC。

∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，∴而∠ACB＋∠CAD＋∠ADC＝180°，
∴∠ACB＋4∠ABC＝180°。

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴5∠ABC＝180°，∴∠ABC＝36°。
∴∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝180°－36°－36°＝108°。

Answer 3

因为AD＝BD
所以角B＝角DAB，而角ADC＝2角B（三角形的外角等于和它不相邻的内角之和）
因为AC＝CD
所以角ADC＝角DAC＝2角B
在三角形ADC中角ADC+角DAC+角C＝180度　　　　（1）
因为AB＝AC
所以角B＝角C，
因此（1）式变形为5角B＝180度
所以角B＝36度
在三角形ABC中角BAC＝180度－2角B＝108度　　

Answer 4

令AB=X，BD=Y，则由余弦定理和相似三角形定理可知：
X^2=Y*(X+Y)
所以COS∠BAC=(X^2+X^2-(X+Y)^2)/2X^2= （1-根号5）/2
即∠BAC=arccos （1-根号5）/2

Answer 5

由条件可知，角B=角BAD=角C，角CDA=角CAD，可以得到方程：3倍的角B+角CAD=180°和角B+2倍的角CAD=180°，解这个方程组得，角B=36°，角CAD=72°，所以角BAC=36°+72°=108°