Question

给定以下数列：一分之一，二分之一，二分之二，二分之一，三分之一，三分之二，三分之三，三分之一，

四分之一，四分之二，四分之三，四分之四，四分之三，四分之二……

（1）第一次出现十一分之十八是第几个分数？
（2）第300个分数是几分之几？
（3）前50项的和是多少？
求正解！！要有过程！！

Answer 1

一分之一,分母为一的是1个
二分之一，二分之二，二分之一，分母为二的是3个
分母分别为一、二、三、四、五的个数分别为1,3,5,7,9

应该是第一次出现十一分之八吧？

若是十一分之八，则为第十一行，而第一次出现是排在第十一行的第八个，再求出前十行的数
可见为等差数列，等差为2
an=1+(n-1)*2=2n-1
当n=10,an=19
则前十行的个数为（1+19）*10/2＝100
第一次出现十一分之八是第108个分数

令sn=300
sn=(1+2n-1)*n/2=300
n^2=300
n>17
S17=34*17/2=289
300-289=11
第300个分数是18分之11

当分母为1，该行和为1
当分母为2，该行和为2
令sn=50=n^2
n>7
当n=7时，s7=14*7/2=49
可知第50行为分母是8的第一个数，故为前50项的和就是前49项（即7行）加上第八行的第一项
前50项的和是1+2+3+4+5+6+7+1/8＝56.125

追问

令sn=300
sn=(1+2n-1)*n/2=300
n^2=300
n>17
S17=34*17/2=289
这个是什么意思？？34和17从哪来能不能解释一下？？？

追答

300开平方是不是大于17
17的平方是289
S17，等差数列的求和就看到梯形求面积，（上底+下底）*高除2，上底是1，下底是等差数列a17为33，高为17

追问

18呢？？

追答

哪个18？如果你问的是第一小题的18，那是不可能的，你看看，题目里没有出现分子大于分母的分数

追问

第300个分数不是18分之11????

追答

第300个分数是18分之11，你看到前17行的分数个数是289，那么第300个分数就是在第18行，而300-289＝11，故第300个分数是18分之11

Answer 2

你给出的数列没有规律，
1/1, 1/2, 2/2, 1/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 3/4, 2/4...

我想，3/3和后面那个1/3之间，是不是少了一个2/3?

追问

嗯，是的，那修改后这题该怎么做？？

追答

先取数列中的一部分:1/n, 2/n,3/n,...,n/n,...,2/n,1/n设为数列{B(n)}
则{B(n)}共有2n-1项。记为N(n)=2n-1.
并设B(n)中各项之和1/n + 2/n +3/n +... +n/n +... +1/n 为P(n)

则原数列可以写为:{B(1),B(2),B(3),...}
1) 求B(11)中的第18个项(即原属列中第一个11/18)是原属列的第几项？
N(1)+N(2)+N(3)+...+N(10) + 18
= (1 + 3 +5 +7 +... +19) +18
= (1+19)x10/2 + 18
=10x10 + 18 = 118

2) 求原数列中的第300项。
N(1) + N(2) +... +N(n) = [N(1) + N(n)] x (n/2) = n²
所以，数列{B(1),B(2),B(3),...,B(n)}共有n²项
√300 ≈ 17.x
所以，计算 N(1)+N(2)+...+N(17) = 17² = 289
所以，原数列中的第300项，即是数列B(18)中的第(300-289)项即第11项

所以，原数列中的第300项是11/18

3)原数列中，前50项的和。
同2)理，因为√50 ≈ 7.x
所以计算N(1)+N(2)+...+N(7) = 7² = 49
所以，原数列中的第50项，即是数列B(8)中的第(50-49)项，即第一项，即1/8
所以，前50项和S(50) = P(1)+P(2)+P(3)+...+P(7) +1/8
P(n) = 1/n + 2/n +...+n/n +... +1/n = (1/n)(1+2+3+...+n+...+1) = (1/n) {[(1+n)n/2]x2-n}
= (1/n) { n(n+1) -n}= (1/n)n² = n
所以S(50)= P(1)+P(2)+...+P(7) +1/8 = 1 + 2 +... +7 + 1/8 = (1+7)x7/2 + 1/8 = 4x7 + 1/8
= 28又1/8 即 225/8

追问

太复杂了！！！

追答

写出来总是要这么多的。

简单地说，你先把你的数列中的每一个小列: 1/n, 2/n,3/n,...,n/n,...,2/n,1/n拿出来。

计算出它的项目数：2n-1和它的各项之和：(1+2+3+...+n+...+2+1)/n = [2(1+2+...+n) -n]/n =... = n

然后第一小题，就是

1. 先定位这个分数在第几个小列。
   

2. 把前面每个小列内所包含的项数都加起来

3. 把这个总和再加上这个分数在自己小列中的位置

(操场排队。第一行1个人，第二行3个人，第三行5个人。要计算第四行第5个人，在整个队伍中是第几个。拿就要把前三行的总人数都加起来，最后再加上5)

第二小题，

还是上面的操场排队，问你整个队伍的第10个人，是第几行中的第几个？

1. 先计算前n行共有几个人:1+3+5+...+(2n-1) = ... = n²
   

2. 然后估算300人大概能排到第几行: n²等于一个略小于300的数字，所以√300 ≈ 17。回过去算17²＝289。那就是300一共排了17行，用掉289个。还剩下11个人，排出第18行的一半。

3. 所以第300个人，就是第18行的第11个人

第三小题，

追问

不好意思，我已得正解啦！！