Question

已知：如图，△ABC中， ∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足， ∠ABD的平分线交AD于E点，EF∥AC，求证：AE=EF.

Answer 1

证明：
∵AD⊥BC
∴∠ABC+∠BAD＝90
∵∠BAC＝90
∴∠ABC+∠C＝90
∴∠BAD＝∠C
∵EF∥AC
∴∠EFB＝∠C
∴∠EFB＝∠BAD
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE
∵BE＝BE
∴△ABE≌△FBE （AAS）
∴AE＝EF

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Answer 2

根据BE平分∠ABD，可得BD/AB=DE/AE，
之后由于EF平行AC，得∠EFD=∠C，因为∠C=∠BAD，所以∠EFD=∠BAD，
所以△ABD相似于△FED，可得BD/AB=DE/EF，所以DE/AE=DE/EF，即AE=EF

Answer 3

证明：

延长FE交AB于G
∵EF//AC, ∠BAC=90°
∴FG⊥AB
又BE是∠ABD的平分线
∴EG=ED
又EF//AC, AD⊥BC
∴∠EFD=∠C=∠EAG
∠EGA=∠EDF=Rt∠
∴Rt△EFD≌Rt△EAG
∴AE=EF

Answer 4

Rt△ABC,∠BAC=90°,AD⊥BD,D为垂足
∠C=∠BAE
EF//AC
∠C=∠BFE
∠BAE=∠BFE
BE为∠ABC的角平分线
∠ABE=∠FBE

∠BAE=∠BFE
∠ABE=∠FBE
BE=BE
△ABE全等△FBE
AE=FE

Answer 5

过点E做垂线EG交AB于G
由∠ABD的平分线交AD
则ED=EG
EF∥AC
所以∠DEF=∠DAC,而∠BAC=90°
所以∠GAD=∠DFE
则ΔEAG≌ΔEFD

AE=EF得证