Question

已知等边△ABC和点P 设P到△三边AB AC BC的距离分别为h1 h2

已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC.BC的距离分别为h1 、h2、 h3，△ABC的高为h。如图，“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h。”请解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2），点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3和h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明。

Answer 1

要根据三角形的面积来算的，证明比较复杂，我也是初二的，还要写数学，就这么说了，根据面积算的啊。
（1）根据已知可以证得：②hl+h2+h3=h；③h1-h2+h3=h；④h1+h2+h3=h；⑤h1+h2-h3=h；
（2）连接AP，可得S△APB+S△APC=S△ABC，由h3=0，AB=AC=BC，即可证得h1+h2+h3=h；
（3）连接PA、PB、PC，可得S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC，由AB=AC=BC，即可求得h1+h2=h+h3，则可得h1+h2-h3=h．解答：解：（1）②hl+h2+h3=h；③h1-h2+h3=h；④h1+h2+h3=h；⑤h1+h2-h3=h．
（2）图②中，h1+h2+h3=h．
连接AP，
则S△APB+S△APC=S△ABC，
∴ AB×h1+ AC×h2= BC×h．
又h3=0，AB=AC=BC，
∴h1+h2+h3=h．

（3）图⑤中，h1+h2-h3=h．
连接PA、PB、PC，（如答图）
则S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC．
∴ AB×hl+ AC×h2= BC×h+ BC×h3
又AB=AC=BC，