Question

三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC的摄影为O，

三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC的摄影为O，满足向量OA+向量OB+向量OC=0，A在侧面PBC上的射影H是三角形PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥的体积最大值是？？答案是36 求过程 给个思路也行

Answer 1

∵向量OA+向量OB+向量OC=0∴O为⊿ABC的重心又A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心∴PH⊥BC而PA在侧面PBC上的射影为PH∴PA⊥BC又PA在面ABC上的射影为PO∴AO⊥BC同理可得CO⊥AB∴O是△ABC的垂心.∵⊿ABC的重心与垂心重合∴⊿ABC为等边三角形即三棱锥P-ABC为正三棱锥. 设AB=x，则AO=x/√3∴PO=√(36-x�0�5/3)∴V=1/3×3x�0�5/4×√(36-x�0�5/3)故x=6√2时，f(x)取得最大值36.