Question

已知α1=（1,2,1,0），α2=（-1,1,1，1），β1=（2,-1,0,1），β2=（1,-1,3,7）

已知α1=（1,2,1,0），α2=（-1,1,1,1），β1=（2,-1,0,1），β2=（1,-1,3,7）,W1=L(α1,α2),W2=L(β1,β2),求W1∩W2和W1+W2的基和维数

Answer 1

设α属于W1∩W2，那么α=aα1+bα2=（a-b,2a+b,a+b,b),α=cβ1+dβ2=(2c+d,-c-d,3d,c+7d)
四个方程联立得a=-d,b=4d,c=-3d,所以α=（-5d,2d,3d,4d),所以W1∩W2是一维的，基随便比如（-5,2,3,4)

而W1和W2都是二维的，所以由维数公式dimW1+dimW2=dim（W1∩W2）+dim（W1+W2）,所以W1+W2是三维的
要找W1+W2的基可以先取W1的两个基（不要求正交基的话直接α1、α2，而β1与这两个线性无关，可以是第三个基）
如果要求正交，那么做个施密特正交化就行了