已知f（x）=-x3+ax在（0,1）上是减函数，求实数a的取值范围
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解：f′(x)=-3x²+a<0
∴x²>a/3
①a<0时，成立
②a=0时，x²>0∴x≠0时，减函数∴成立
③a>0时，x<-√(3a)/3或者x>√(3a)/3时减函数，不是（0,1）∴不成立
∴a≤0
∴x²>a/3
①a<0时，成立
②a=0时，x²>0∴x≠0时，减函数∴成立
③a>0时，x<-√(3a)/3或者x>√(3a)/3时减函数，不是（0,1）∴不成立
∴a≤0
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解由题意可得，f（x）=-x三次方+ax即进行求导，得 f′(x)=-3x²+a<0
∴x²>a/3
①a<0时，成立
②a=0时，x²>0∴x≠0时，减函数∴成立
③a>0时，x<-√(3a)/3或者x>√(3a)/3时减函数，不是（0,1）∴不成立
∴a≤0
∴x²>a/3
①a<0时，成立
②a=0时，x²>0∴x≠0时，减函数∴成立
③a>0时，x<-√(3a)/3或者x>√(3a)/3时减函数，不是（0,1）∴不成立
∴a≤0
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对f(x)求导得f'(x)=-3x²+a
因f(x)在（0,1）上是减函数，
则f'(x)=-3x²+a在x∈（0,1）时恒小于0
即a恒小于3x²，而3x²∈（0,3），也就是说a必须小于等于0
因f(x)在（0,1）上是减函数，
则f'(x)=-3x²+a在x∈（0,1）时恒小于0
即a恒小于3x²，而3x²∈（0,3），也就是说a必须小于等于0
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-x3是指-x³吗？
追问
是的
追答
那么原函数求导得f`(x)=-3x²+a
要使原函数在（0,1）上是减函数那么f`(x)=-3x²+a在（0,1）上就必须为负
所以a必须小于0
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