已知f(x)=-x3+ax在(0,1)上是减函数,求实数a的取值范围
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解由题意可得,f(x)=-x三次方+ax即进行求导,得 f′(x)=-3x²+a<0
∴x²>a/3
①a<0时,成立
②a=0时,x²>0∴x≠0时,减函数∴成立
③a>0时,x<-√(3a)/3或者x>√(3a)/3时减函数,不是(0,1)∴不成立
∴a≤0
∴x²>a/3
①a<0时,成立
②a=0时,x²>0∴x≠0时,减函数∴成立
③a>0时,x<-√(3a)/3或者x>√(3a)/3时减函数,不是(0,1)∴不成立
∴a≤0
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对f(x)求导得f'(x)=-3x²+a
因f(x)在(0,1)上是减函数,
则f'(x)=-3x²+a在x∈(0,1)时恒小于0
即a恒小于3x²,而3x²∈(0,3),也就是说a必须小于等于0
因f(x)在(0,1)上是减函数,
则f'(x)=-3x²+a在x∈(0,1)时恒小于0
即a恒小于3x²,而3x²∈(0,3),也就是说a必须小于等于0
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-x3是指-x³吗?
追问
是的
追答
那么原函数求导得f`(x)=-3x²+a
要使原函数在(0,1)上是减函数那么f`(x)=-3x²+a在(0,1)上就必须为负
所以a必须小于0
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