Question

已知:如图,AB平行CD,PB和PC分别平分角ABC和角DCB,AD过点P,且与AB垂直,求证:PA=PD

Answer 1

证明：过点P作PE垂直BC于E
所以角PEC=角PEB=90度
因为AB平行CD
所以角BAP+角PDC=180度
因为AD垂直AB
所以角BAP=90度
所以角PDC=90度
所以角PEC=角PDC=90度
因为CP平分角BCD
所以角PCE=角PCD
因为PC=PC
所以三角形PCE和三角形PCD全等（ASA)
所以PE=PD
因为PA平分角ABC
所以角ABP=角EBP
角BAP=角PEB=90度
因为BP=BP
所以三角形BAP和三角形BEP全等（ASA)
所以PE=PA
所以PA=PD

Answer 2

过P点做PE⊥BC，
由角平分线的性质可得：AP=PE,PE=PD
所以AP=PD

Answer 3

过P作PE平行于AB交BC于E
角EPB=角APB=角EPB
EB=EP
角CPE=角DCP=角EPC
CE=EP
FE是梯形ABCD中位线

所以PA=PD