Question

基本不等式常见题型归纳汇总

Answer 1

与求值相关的数学问题和与不等式相关的数学问题是高中数学中大的两个考察方向，而基本不等式作为不等式问题的重要组成部分，贯穿高中数学中圆锥曲线、数列、函数、三角函数等多个知识点，所有掌握基本不等式的基本题型，对解决与基本不等式相关的问题显得尤为重要。现笔者对基本不等式常出现的题型予以总结，以供师生参考。

主要知识

题型一基于简单变换的基本不等式问题

思路点拨：以上8题借助常见的转换形式，往和为定值或者积为定值的方向转化即可。

此类题型以求和的取值范围转化为积为定值求解，求积的取值范围问题转化为和为定值求解为突破口，借助构造思想，构造为可以使用基本不等式的形式；常见的构造变换方法有凑项变换、拆项变换、系数变换、平方变换、常量代换、三角代换等。

变式提升

思路点拨

借助常见的转换形式，往常见基本不等式相关形式转化即可。注意基本不等式“一正二定三相等”条件的限制。

题目

思路点拨

解析

变式提升

思路点拨

分离参量，然后分子分母同除，再借助分离变换即可。

题型二 基于ax+by+cxy=d类型的构造

此类题型常常以和以及积的等式形式出现，然后求和或者积的取值范围，题型切入口为将等式转化为不等式，常见的解题思路有构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等。

题目

思路点拨

将等式转化为不等式，找出可以利用的不等量关系即可。

解析

题目

思路点拨

将等式转化为不等式，找出可以利用的不等量关系即可。

解析

变式提升

思路点拨

借助构造与变形转化为不等式或者单变量函数关系式，然后利用构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等方法求解即可。

题目

思路点拨

把题目中等式进行变形，变量代换后整体代入运用基本不等式求解。

解析

题型三

基于复杂变换类型的构造

此类题型常常题设复杂，需要向基本不等式方向变换多次或者多次运用基本不等式，考察的角度为学生综合处理问题能力以及对不等式的熟练程度。能够掌握这类题型需要建立在掌握题型一、题型二的基础上，解题的中心思路还是往和为定值或者积为定值的方向转化。

题目

思路点拨

把题目中等式进行变形，变量代换后整体代入运用基本不等式求解。

解析

题目

思路点拨

求和的最值，转化为乘积有最值的形式，把分母b(a-b)通过转化消掉，此题即得解。

解析

变式提升

思路点拨

求和的最值，转化为乘积有定值，将a^2拆成a(a-b+b)，然后利用基本不等式即可。

思路点拨

将含参项移项，然后通分，再将a-c拆成a-b+b-c此题即可得解。

题目

思路点拨

求和的最值，转化为乘积有定值的形式，把题设方程拆分重新组合即可得解。

解析

变式提升

思路点拨

题目

思路点拨

求积的最值，转化为和有定值的形式，把所求关系式往题设方程的方向转化即可得解。

解析

变式提升

思路点拨

求积的最值，转化为和有定值的形式，把所求关系式往题设方程的方向转化即可得解。解法同例9。

题目

思路点拨

当双变量存在等量关系时，可以将双变量取值范围问题转化为单变量函数性质，利用函数求最值或不等式求最值思路求解。

      这类题型考察的构造思想属于深层次的，属于中上难度的题型，在碰见这类题型如果能掌握对称原理，构造思路将会破壳而出。最值原理是对称原理最基本呈现形式，对称原理应用在不等式最值问题中，就是当对称元素达到地位相同、作用一样、数值相等时，他们的对称性就达到了极致的和谐、平衡，此时问题也就达到了一种最优化的最值状态。

      基本不等式问题题型众多，但都是围绕基本不等式的几个变形形式来展开，所以掌握基本不等式变形形式的本质内涵，利用构造思想、转化化归思想、函数与方程思想，这类问题将会迎刃而解，柳暗花明。