Question

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2-bx+2(a b属于R)有极值,且在x=1处的切线与直线2x+2y+3=0垂直。 具体见下

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2-bx+2(a b属于R)有极值,且在x=1处的切线与直线2x+2y+3=0垂直。（1）求实数a的取值范围（2）是否存在实数a，是的函数f(x)的极小值为2.若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2-bx+2, 且有极值。
因为 x=1处的切线与2x+2y+3=0垂直，即 y=-x-3/2
其斜率K=-1 得函数f(x)在x=1处切线的斜率K'=-1/K=1
函数的导函数f'(x)=x^2+2ax-b
当x=1,切线的斜率K'= f'(1)=1+2a-b=1
a=b/2
故：实数a的取值范围为：a=b/2。（a,b属于R)
(2), 因为有a=b/2 即b=2a
则函数可化为：f(x)=1/3x^3+ax^2-2ax+2
导函数f'(x)=x^2+2ax-2a
令f'(x)=0, 即：x^2+2ax-2a=0 解得：
x1=(a^2+2a)^(1/2)-a x2=-(a^2+2a)^(1/2)-a
根据三次函数的特性，当x=x1时才能取到极小值。(x1>x2)
代入函数f(x1)=1/3(x1)^3+a(x1)^2-2a(x1)+2=2
(x1)[1/3(x1)^2+a(x1)-2a]=0
当x1=0 函数为y=1/3x^3+2 此函数没有极值。
1/3(x1)^2+a(x1)-2a=0
(x1)^2+3a(x1)-6a=0 用x1=(a^2+2a)^(1/2)-a 代入
[(a^2+2a)^(1/2)-a]^2+3a[(a^2+2a)^(1/2)-a]-6a=0
a^2+2a-2a(a^2+2a)^(1/2)+a^2+3a(a^2+2a)^(1/2)-3a^2-6a=0
a(a^2+2a)^(1/2)=a^2+4a (a=0, 即x1=0 不合题意）
(a^2+2a)^(1/2)=a+4
a=-8/3
x1=(a^2+2a)^(1/2)-a =[(-8/3)^2-2*8/3]-(-8/3)=4
用x1=4 a=-8/3代入原函数：
y(min)=1/3*4^3-(8/3)*4^2+2*(8/3)*4+2=2
故：存在实数a=-8/3,函数f(x)有极小值2存在。