Question

第二讲 一元函数微分学 18′

Answer 1

核心考点：

（1）定义 4′

（2）计算 4′

（3）应用｛中值定理、几何应用｝10′

一、定义（牛顿）

瞬间变化率

［注］

①左右有别

在X0点导数存在的充要条件（必考）

②三角x广义化为狗    学会凑出“狗”

③下图为典型错误

④换元法  求导的增量形式的等价写法差值形式

［例1］见到在一点处的导数⇒先用定义法写出来再说（综合性）

［注1］1-cosh趋于0+（h趋于0）

［注2］|狗|/狗在狗趋于0时有界但极限不存在

［注3］见下图

［注4］2A-A≠A（只有A存在时，才作数量运算）

［例2］（注意隐含条件）

［注1］F'=f，

若 F'（-x）=-F'（x）,则f（-x）=-f（x）.

［注2］X0特指点；X泛指点

自证：若f（x）为可导的奇函数，证明f'（x）为偶函数.

二、计算（基础之基础）

1.基本求导公式（牢记）

幂（1）  指（2）  对（1）

三角（6）  反三角（4）  两个对数复合

2.基本求导法

①复合函数求导（一层一层剥开他的心）

幂指函数一定要写成e为底的幂指函数

［例］e的狗次幂的导=e的狗次幂×狗的导

②隐函数求导（二阶导不简单）

方法：在等式两边同时对x求导，注意y=y（x）即可（复合求导）

［例］求一阶导后注意化简

③对数求导法

对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，先取对数再求导

［例］两边同时取对数+两边对x求导

［注］u=u（x）（ln|u|）'视绝对值而不见

④反函数求导

［例］求三阶导

［注］转化为对x求导，如下图

⑤参数方程求导

［例题］计算方法见下图

⑥高阶导数（强化班讲）

三、中值定理  10′

1.定理总结

①涉及f(x)的定理

设f(x)在［a,b］上连续（前提），则

（1）有界性定理

（2）最值定理

（3）介值定理（考研第一大考点，写法）

（4）零点定理（柯西）

［注］以上四条只用不证

②涉及f'(x)的定理

（5）费马定理

［作业：证明之］导数定义、极限保号性、极限定义

（6）罗尔定理（给分点⇒f(a)=f(b)）

［作业：证明之］

（7）拉格朗日中值定理

［注1］若f(a)=f(b),则f'(c)=0，成为罗尔

［注2］2009年考过此证明.

（8）柯西中值定理

［注］

①若g（x）=x, ⇒拉格朗日

②柯西⇒朗格朗日（若f(a)=f(b)）⇒罗尔

（9）泰勒定理（泰勒公式）［不证］

任何可导函数f(x)⇒幂函数和的形式（统一美）

①带拉格朗日余项的泰勒公式

若X0=0，变成麦克劳林公式

②带佩亚诺余项的泰勒公式

若X0=0，变成麦克劳林公式

［注］任何可导函数都有麦克劳林展开式

2.五大方面的应用

1°涉及f(x)的应用（①-④）

［例］证积分中值定理（找题眼f(x)）

［注］积分保号性+介值三部曲（见下图）

2°罗尔定理的应用（⑥）［考研核心］

题眼f'(x)=0，工作 f(a)=f(b)⇒f'(c)=0

［例1］［例2］

罗尔定理两大关键：

①称F(X)为辅助函数，找F(X)有两个途径

1°求导公式逆用法

共三种：见到XXX想到XXX（见下图）

2°积分还原法（见下图）

［例1］［例2］［例3］

②证F(a)=F(b).

3°拉氏中值的应用（⑦）两种形式

①将f复杂化（一般证等式）

［例］构造辅助函数，罗尔解决等于0的问题

②给出相对高阶条件⇒证低阶不等式

［例］看出4个点了吗？⇒没有⇒复习到8点

多点最好画图，不妨设x1＜x2

③给出相对低阶⇒高阶不等式

［例］积分中值定理，见到后先写出来（必考）如下图

④具体化f，a＜x＜b⇒不等式（4′  经常出现）

具体化函数的差 f(b)-f(a)（没有函数差去创造，ln(b/a)=ln(b)-ln(a)）

4°柯西中值定理应用（一个抽象f，一个具体g）

［例］双中值

①两中值无≠要求：在同一区间［a,b］上用两次中值定理

②两中值有≠要求：将［a,b］分成［a,c］与［c,b］

物以类聚，人以群分

和差化积，积化和差公式⇒考前记一记

5°泰勒公式的应用——信号高阶导数（n≥2）

一阶用罗尔、拉格朗日、柯西

［注］

①f(a)=f(b),f(c)=f(d)⇒多次使用罗尔/拉格朗日

②泰勒展开成f''，f'''，…（见下图例题）

复习到位：

1.最值定理、介值定理、零点定理

2.罗尔定理

3.拉格朗日

4.柯西定理

5.泰勒定理

四、导数的几何应用（三点两性一线）

1.极值与单调性

①极值定义

1°广义极值

2°真正极值

［注］若无说明，按1°办事，同理对最值

②单调性与极值的判别

1°f'(x)＞0，对任意x属于区间I⇒f(x)单调递增；单调递减同理

2°若f(x)在x0连续，去心邻域可导：

左邻域f'(x)＜0，右邻域f'(x)＞0⇒极小；

左邻域f'(x)＞0，右邻域f'(x)＜0⇒极大.

3°二阶法求极值

［注］泰勒展开至二阶⇒f(x)＞f(x0)

［例1］一阶法＋拉氏中值＋放缩

［例2］华罗庚：数形结合百般好

2.凹凸性与拐点

①凹凸性

②拐点（与可导性无关，连续就行）

③判别法

1°二阶导正负

2°某点左右领域二阶导变号

［例1］参数方程讨论凹凸性

［例2］三阶可导，证明某一点是拐点

导数概念和判别法结合