Question

关于高等数学求不定积分的一点疑惑

有一道题，求它的不定积分，绿色部分开平方后不考虑正负的话，做出来的结果和参考答案是一致的。
我的疑惑是绿色部分开平方根出来不应该是要考虑正负两种情况吗？为什么参考答案貌似只考虑到了为正的情况，而不考虑开平方出来为-cost的情况？

高数菜鸟，请大神们不吝赐教！

Answer 1

不用考虑正负号，因为反正弦函数t=arcsinx定义域x∈（-π/2，π/2）；在此区间内，cosx＞0

Answer 2

参考答案不是这样做的，应该是：

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darcsinx=1/√(1-x^2) dx

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所以原不定积分= ∫ （1/arcsin²x）darcsinx

                       =-1/arcsinx + C

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你用的是换元法，前面已经设好t的取值范围，t=arcsinx 角的范围[-π/2，π/2] ，根据分母不能为0，可以确定t只需要 ：-π/2<t<π/2，因为这样sint就可以取到x的所有值，那么后面

绿色部分开算术平方根=|cost|；

|cost|=cost  （因为-π/2<t<π/2，所以cost>0)

Answer 3

不需要，因为前面你令
t=arcsinx时，t的范围已经确定，
反三角正弦函数的值域为[-π/2, π/2],所以
t∈[-π/2,π/2]
所以，cost为正，所以，开方出来也是正数