Question

把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少

Answer 1

首先我觉得tyrhhbd 的三条指导应该是对的：
1、9的倍数的各位数之和一定还是9的倍数。
2、任意自然数的各位数之和与该自然数都除以9，具有相同的余数。
3、把任意自然数截分成数段，各段之和与该自然数都除以9，具有相同的余数。

但是像2005这样的数，0是不能计算的。所以从1加到2005可能不大对（我承认没有细想过）；
所以应该算1到2005中，1至9的数字和。所以多位数写成下列形式就比较好看：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21.....................................29
.................................................
100 101 102 103..................109
..................................................
2000 2001 2002 2003 2004 2005
上面除了最下一行，数字和都是9的倍数无疑；
最下一行数字和为2*6+1+2+3+4+5=27，也为9的倍数，所以整个数字和为9的倍数
所以余数为0；

Answer 2

被9整除的正整数，它各位数字之和是9的倍数，反之亦然。

我们据此进行分析。

将1到2005，每10个数分为一段。

一位数：1～9；和值为 (0+9)*10/2=45，是9的倍数。

两位数：a0～a9，个位数字之和45，是9的倍数；

十位数字之和 10a=9a+a，扣除9的倍数，a合计为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，也是9的倍数。

三位数：axx，后两位同两位数的情形，数字之和是9的倍数；

百位数字之和为 100a=99a+a，同两位数的十位数字情况，也是9的倍数。

四位数的1xxxx：后三位同上分析，数字之和是9的倍数；

千位上的数字之和为 1000*1=999+1，即，扣除9的倍数后，余1。

剩余的2000～2005：2*6+1+2+3+4+5=27,是9的倍数。

综上，所有1～2005所有数的数字之和为9的倍数余1；

在这个大整数的个位5上减去1，它恰好能被9整除；

因此，这个大整数除以9，所得的余数是1。