Question

点解a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Answer 1

从(a-b)(a²+ab+b²)到a³-b³: (a-b)(a²+ab+b²) =a(a²+ab+b²)-b(a²+ab+b²) =a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³ =a³-b³ 从a³-b³到(a-b)(a²+ab+b²): a³ - b³ =a³ - a²b + a²b - b³ =a²(a-b) + b(a² - b²) =a²(a-b) + b(a+b)(a-b) =(a-b)[a² + b(a+b)] =(a-b)(a² + ab + b²)
a³ - b³ =a³ - a²b + a²b - b³ =a²(a-b) + b(a² - b²) =a²(a-b) + b(a+b)(a-b) =(a-b)[a² + b(a+b)] =(a-b)(a² + ab + b²)
要得到a^3-b^3，就联想到：(a-b)(a+b)^2=a^3+ba^2-ab^2-b^3 所以可以从这里入手：(a-b)(a+b)^2=a^3+ba^2-ab^2-b^3 a^3-b^3 =(a-b)(a+b)^2-ba^2+ab^2 =(a-b)(a+b)^2-ab(a-b) =(a-b)(a^2+2ab+b^2-ab) =(a-b)(a^2+ab+b^2) 2014-09-17 05:17:00 补充： 其实如果同学是未教到等式，可以从： a^2-b^2=(a-b)(a+b) a^3-b^3=(a-b)(a+b)^2 这方向想。 到你学等式的时候，会更易明白。 :-) 2014-09-17 05:19:12 补充： 又唔见咗D字： a^3-b^3=(a-b)(a+b)^2-ba^2+ab^2
等式中的等号 (=) 没有必须 由左至右 的这一种方向性 等式好比一个平衡的天秤 而等号的意思是左右两边相等 即使把天秤左右两边的物件掉转 也不影响天秤的平衡 所以等式是没有方向性的 例如当知道 2(x + 1) = 2x + 2 时 我们也可以写 2x + 2 = 2(x + 1) 所以你所说 a^3-b^3 转到(a-b)(a^2+ab+b^2) 的步骤 其实就只是把之前证明好的两边掉转 原理就好比将天秤左右两边的物件掉转 不会影响天秤的平衡 注: 你也应该知道这是条恒等式 (Identity) 恒等式是一种特别的等式 恒等式的变数不论代入甚么数字 左右都会相等
参考: Victor 老师
Chun Hin，用长除法。 a² - b² = (a - b)(a + b) a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) a⁴ - b⁴ = (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³) a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴) 见到规律 你可以试 (a^n - b^n) ÷ (a - b) 就可得你的一般结果。 2014-09-16 11:00:13 补充： 但首先，若你要明白为何 (a^n - b^n) 可被 (a - b) 整除，就要学习中四的因式定理 (factor theorem)。 2014-09-16 11:29:29 补充： Chun Hin，客气了～ 以上意见002的未必看明白，但意见001的你应该可以看明白。 加油！ 另外，Victor 老师说的是正确的，请也看看学习一下数学的思维。 Victor 老师，我或许理解 Chun Hin 的意思，我感觉到他发问背后的精神是，他需要的不是单单明白为何 A = B，而是想知道为何可以知道 A 可以写成 B 的样式。 其实我昨晚答题时也遇到类似的问题，请看看我现正在投票中的一题，那里发问者问 Crammer's Rule 的证明，但我也觉得我的回答只属一个verification，若说是证明，那只是 2 × 2 的层面。所以我未必能完全解答他。