Question

等差数列与等差数列前n项和的性质

Answer 1

前n项和公式　　S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2 n是正整数
推论　　一.从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 　
　二. 从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=… 　　=a(k)+a(n-k+1),(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n} 　
　三.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)= 　　(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…或等差数列,等等. 　　
若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p) 　　
(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n) 　　p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p 　　(q)) 　　
四.其他推论 　　① 和＝（首项＋末项）×项数÷2 　　(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2 　　(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n)) 　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1 　　(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n) 　　
② 首项=2和÷项数-末项 　
　③ 末项=2和÷项数-首项 　　(以上2项为第一个推论的转换) 　
　④ 末项=首项+（项数-1）×公差 　　(上一项为第二个推论的转换) 　　推论3证明 　　若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p) 　　+a(q) 　　如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d 　　=2*a(1)+(m+n-2)*d 　　同理得, 　　a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d 　　又因为 　　m+n=p+q ; 　　a(1),d均为常数 　　所以 　　若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q) 　　注：1.常数列不一定成立 　　2.m,p,q,n大于等于自然数
⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)．
　　⑵在等差数列中,当项数为2n (n N )时,S －S = nd, = ；当项数为(2n－1) (n )时,S －S = a , = ．
　　⑶若数列为等差数列,则S n,S2n －Sn ,S3n －S 2n,…仍然成等差数列,公差为k^2d ．
　　⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S 、T (n为奇数),则 = ．
　　⑸在等差数列中,S = a,S = b (n＞m),则S = (a－b)．
　　⑹等差数列中, 是n的一次函数,且点（n, ）均在直线y = x + (a － )上．
　　⑺记等差数列的前n项和为S ．①若a ＞0,公差d＜0,则当a ≥0且a ≤0时,S 最大；②若a ＜0 ,公差d＞0,则当a ≤0且a ≥0时,S 最小．