Question

已知函数f(x)在区间[a ,b]上具有单调性,且f(a)f(b)

Answer 1

(1)作为填空题,数形结合解之较好.由f(a)*f(b)<0.说明函数在区间两端的值异号,不妨设f(a)<0<f（b).则函数在[a,b]上是单调上升的,其图像在[a,b]上必由负到正,从而与x轴有且仅有一个交点,即方程f(x)=0有唯一的实根.（2）作为证明题,分两步来证,先证有实根,再证仅有一个实根.其一,假设在[a,b]上,方程f(x)=0无实根,即对任意x∈[a,b],恒有f(x)≠0,不妨设f(a)<0 0,再取区间[a,x1]中点x2,这样无限取下去,再由函数连续性得出矛盾结论.故方程有实根,其二,由单调性知,方程不可能有两实根.</f（b).则函数在[a,b]上是单调上升的,其图像在[a,b]上必由负到正,从而与x轴有且仅有一个交点,即方程f(x)=0有唯一的实根.（2）作为证明题,分两步来证,先证有实根,再证仅有一个实根.其一,假设在[a,b]上,方程f(x)=0无实根,即对任意x∈[a,b],恒有f(x)≠0,不妨设f(a)<0