Question

求∫√(x^2+a^2)dx的积分，谢谢！

Answer 1

具体回答如下：

∫√(x^2+a^2)dx

=x√(x^2+a^2)-∫xd√(x^2+a^2)

=x√(x^2+a^2)-∫x^2/√(x^2+a^2)dx

=x√(x^2+a^2)-∫(x^2+a^2-a^2)/√(x^2+a^2)dx

=x√(x^2+a^2)-∫[√(x^2+a^2)-a^2/√(x^2+a^2)]dx

移项，得

2∫√(x^2+a^2)dx=x√(x^2+a^2)+a^2∫1/√(x^2+a^2)dx

=x√(x^2+a^2)+a^2ln|x+√(x^2+a^2)|+2c

原式=1/2 x√(x^2+a^2)+1/2 a^2ln|x+√(x^2+a^2)|+c

积分的保号性：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。