Question

2013.07.13数学题【要过程】

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Answer 1

sin180°=5(cos²36°)²sin36°-10cos²36°sin³36°+(sin36°)^5=0；
→ 5(cos²36°)²-10cos²36°sin²36°+(sin²36°)²=0；
→ 5t²-10t(1-t)+(1-t)²=0 ……t=cos²36°；
→ 16t²-12t+1=0，解得 t=(3±√5)/8；
∴ cos36°=√[(3±√5)/8]=(√5±1)/4；
∵ cos36°>cos45°=√2/2，∴ ∴ cos36°=(√5+1)/4；

追问

第二个问呢？

追答

正五边形的某一边（边长a）与外接圆（半径R）圆心连线构成一等腰三角形，顶角360°/5=72°；因此 (a/2)/R=sin36°；
正五边形某一边端点与对角有两条连线（设长度为b，是叫对角线吗？），该连线其自身端点与外接圆圆心连线构成一等腰三角形，顶角为 2*(360°/5)=144°，因此 (b/2)/R=sin72°；
∴ b/a=sin72°/sin36°=2cos36°=2*(√5+1)/4=(√5+1)/2；

Answer 2

由题，可设x=36°，sin180°=sin5x=5cos^4(x)sinx-10cos^2(x)sin^3(x)+sin^5(x)=0 又sin^2(x)+cos^2(x)=1,即cos^2=1-sin^2(x)带入上式，可得5[1-sin^2(x)]^2sinx-10[1-sin^2(x)])sin^3(x)+sin^5(x)=5sinx-20sin^3(x)+16sin^5(x)=0 sinx不为0，于是16sin^4(x)-20sin^2(x)+5=0 解之，可得sin^2(x)=(5-
√5)/8 较大值舍去，于是cos^2(x)=(6+2√5)/16,即cos36°=(√5+1)/4
正五边形，对角线与边长夹角正好36°，所以比值为2cos36°=(√5+1)/2（等腰三角形，看图易知）