Question

设向量组a1,a2,a3线性相关,向量组a2,a3,a4线性无关,证明a1能由a2,a3线性表示

Answer 1

说明向量组a1,a2,a3,a4线性相关；
即存在不全为0的4个数k1,k2,k3,k4使得k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0(注由于这里不好写下标,在此声明k1,k2,k3,k4为系数)
又因为a4不能由a1,a2,a3线性表示,所以不存在如下的等式关系：
a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3(注c1,c2,c3为系数,也就是常数)
由上面第一个等式知：k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0
由上面第二条件知：a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3（不成立）
从第一个等式中知要使第二个条件成立,只有k4=0;如果k4!=0的话,那么经 过移项,两边同除以k4,可变成a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3,这就产生了矛盾.
故在第1式中只有k4=0;
这样就有k1*a1+k2*a2+k3*a3＝0；(k1,k2,k3不全为0),故向量组a1a2a3线性相关