Question

设x,y,z是正实数,且x+y+z=1.求证：(1)xy+yz+xz≤1/3,(2)x√y+y√z+z√x≤√3/3.

2小时内采纳。过时无用。
要用柯西不等式的方法做的

Answer 1

x+ y+ z=1，得(x+ y+ z)²=x²+ y²+ z²+ 2(xy+ yz+ xz)=1
又x²+ y²≥2xy，x² +z²≥2xz，y²+ z²≥2yz，
则x²+ y²+ z²≥xy+ yz+ xz
∴1≥3(xy+ yz+ xz) (x=y=z时取等)
故xy+ yz+ xz≤1/3

Answer 2

（1）(x-y)²+(y-z)²+(x-z)²>=0
2（x²+y²+z²）-2（xy+yz+xz）>=0
即
2（x²+y²+z²）>=2（xy+yz+xz）
3（x²+y²+z²）>=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）=(x+y+z)²
所以
x*x+y*y+z*z>=(x+y+z)²/3=1/3
（2）先给你第一问，我在想第二问