求证2(√n+1-1)<1+1/√2+1/√3+....+1/√n<2√n
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证：注意到1/√n=2/(√n+√n)<2/[√n+√(n-1)]=2[√n-√(n-1)]
所以
1+1/√2+1/√3+....+1/√n<2[(√1-√0])+(√2-√1])+……
+(√n-√(n-1)]))=2√n
同理有:1/根号n=2/(根号n+根号n)>2/(根号(n+1)+ 根号n)=2[根号(n+1)-根号n]
故有1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号n>2[根号2-1+根号3-根号2+根号4-根号3+...+根号(n+1)-根号n]=2[根号(n+1)-1]
故有:2(√n+1-1)<1+1/√2+1/√3+....+1/√n<2√n
所以
1+1/√2+1/√3+....+1/√n<2[(√1-√0])+(√2-√1])+……
+(√n-√(n-1)]))=2√n
同理有:1/根号n=2/(根号n+根号n)>2/(根号(n+1)+ 根号n)=2[根号(n+1)-根号n]
故有1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号n>2[根号2-1+根号3-根号2+根号4-根号3+...+根号(n+1)-根号n]=2[根号(n+1)-1]
故有:2(√n+1-1)<1+1/√2+1/√3+....+1/√n<2√n
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