Question

偏导数问题

若f(x,y)在(x0,y0)点沿任意方向的方向导数都存在 则f(x,y)在(x0,y0)有偏导数

这句话哪错了?

Answer 1

1、这句话作为推论，没有错误。
既然在任何方向的方向导数都存在，自然在x方向上有方向导数，
而在x方向上的方向导数就是在x方向上的偏导存在。
同样地，在y方向，在z方向，方向导数都存在，也就是偏导存在。

2、方向导数是有x方向的偏导，y方向的偏导，z方向的偏导，共同
投影到L方向，这个由x、y、z方向的偏导在L方向的分量的共同
结果，才使得方向导数存在。

综合以上两点，可以得出结论：

A、有偏导是各个方向存在方向导数的必要条件，也就是说，有偏导
存在，不一定有各个方向的方向导数存在；而各个方向的方向导
数存在，则必然有偏导存在。

B、这句话的错误只是形式逻辑的错误，也就是因果关系错了。改成

“既然f(x,y)在(x0,y0)点沿任意方向的方向导数都存在，则f(x,y)在
(x0,y0)的偏导数存在”，就没有逻辑上的问题了。

类似的问题：
若甲会说英文、法文、德文，则甲会说英文。
（这就变成了，必须会说英文、法文、德文，才算会说英文。这显然不合理）

应该改成：
既然甲会说英文、法文、德文，则甲自然会说英文。

Answer 2

如果函数在某点处的沿x轴正向和负向的方向导数的和不为0的话，该点处的偏导是不存在的。

追问

能解释详细一点么？ 偏导数存在的条件是什么

追答

偏导数存在没有什么条件，满足计算式有意义就行。但是偏导和方向导数以及函数的连续及可微没有什么必然联系。